みなさん、こんにちは！マスムネです。
さて今回は、難問だけどクセになる良問シリーズ第7弾です。
2次方程式でいきたいと思います。
ど定番の単元ですが、今回は少し変化球な問題です。
整数部分、小数部分を絡めた問題になっています。
ではいってみましょう！
【問題】
正の数 $a$ の小数部分は $b$ で，$b>0$ である。
$a^2+b^2=38$ を満たすとき，$a$ の値を求めなさい。
さて，いかがでしょう？何から始めたらいいか困っている人も、一つ一つ丁寧に理解していきましょう。
では解説していきます！
【解答・解説】
$b$ は小数部分なので， $0<b<1$ より， $0<b^2<1$ …①
①と $a^2+b^2=38$ より， $37<a^2<38$
よって，$a$ の整数部分は $6$ なので， $a=6+b$ …②
② を $a^2+b^2=38$ に代入すると，
$(6+b)^2+b^2=38$
$36+12b+b^2+b^2=38$
$2b^2+12b-2=0$
$b^2+6b-1=0$
$b>0$ であり，解の公式より $b=-3+\sqrt{10}$
②より，$a=3+\sqrt{10}$
答え．$a=3+\sqrt{10}$
さて，今回のポイントはどこにあるんでしょうか？
はい！『$a$ の整数部分は $6$ なので， $a=6+b$ …②』
ここですね！
どうやって、$a$ の整数部分は $6$ということを理論的に突き止めるかです。
整数部分と小数部分の意味は、今一度おさえたいですね。
整数部分$n$・・・ある数$P$を越えない最大の整数
小数部分$a$・・・ある数$P$から整数部分$n$を引いた差 $a=P-n$
よって，
$b$ は小数部分なので， $0<b<1$ より， $0<b^2<1$ …①
という式が得られ，②式を得ることができる。
後は，2元2次方程式を1元にして，$a$を求めれば良い。
さて，この問題から得られる，他の問題に応用できるエッセンス，略して
OSは，
【今回のOS】
2元方程式は，すぐに1元にできない考える！！
でした！！
では，次回もお会いしましょう！！
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